鹦鹉小說

第四章 化圓為方（第1頁）

化圓為方問題的完整叙述是：給定一個圓，是否能夠通過以上說明的五種基本步驟，于有限次内作出一個正方形，使得它的面積等于圓的面積。如果将圓的半徑定為單位長度，則化圓為方問題的實質是作出長度π的開方為單位長度倍的線段。公元前5世紀，古希臘哲學家阿那克薩哥拉因為發現太陽是個大火球，而不是阿波羅神，犯有“亵渎神靈罪”而被投入監獄。在法庭上，阿那克薩哥拉申訴道：“哪有什麼太陽神阿波羅啊！那個光耀奪目的大球，隻不過是一塊火熱的石頭，大概有伯羅奔尼撒半島那麼大；再說，那個夜晚發出清光，晶瑩透亮象一面大鏡子的月亮，它本身并不發光，全是靠了太陽的照射，它才有了光亮。”結果他被判處死刑。在等待執行的日子了，夜晚，阿那克薩哥拉睡不着。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進牢房，他對方鐵窗和圓月亮産生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。最後他說：“好了，就算兩個圖形面積一樣大好了。”阿那克薩哥拉把“求作一個正方形，使它的面積等于已知的圓面積”作為一個尺規作圖問題來研究。起初他認為這個問題很容易解決，誰料想他把所有的時間都用上，也一無所獲。經過好朋友、政治家伯裡克利的多方營救，阿那克薩哥拉獲釋出獄。他把自己在監獄中想到的問題公布出來，許多數學家對這個問題很感興趣，都想解決，可是一個也沒有成功。這就是着名的“化圓為方”問題。化圓為方是古希臘尺規作圖問題之一，即：求一正方形，其面積等于一給定圓的面積。由π為超越數可知，該問題僅用直尺和圓規是無法完成的。但若放寬限制，這一問題可以通過特殊的曲線來完成。如西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德的螺線等。二千年間，盡管對化圓為方問題上的研究沒有成功，但卻發現了一些特殊曲線。希臘安提豐（公元前430）為解決此問題而提出的「窮竭法」，是近代極限論的雛形。大意是指先作圓内接正方形（或正6邊形），然後每次将邊數加倍，得内接8、16、32、…邊形，他相信「最後」的正多邊形必與圓周重合，這樣就可以化圓為方了。雖然結論是錯誤的，但卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米德計算圓周率方法的先導，與中國劉徽的割圓術不謀而合，對窮竭法等科學方法的建立産生直接影響。現已證明，在尺規作圖的條件下，此題無解。：（）數學心

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