鹦鹉小說>數學心 > 第五百九十三章 高斯－博内－陳定理曲面幾何（第1頁）
第五百九十三章 高斯－博内－陳定理曲面幾何（第1頁）
1827年，高斯證明了這一定理。1944年，博内将這一定理推廣到一般曲面上，由任一閉曲線c圍成的單連通區域，形成了着名的高斯-博内公式1944年，陳省身給出了高斯-博内公式的内藴證明歐拉數雖然神秘有趣，可還是引不起數學家們的強烈興趣，原因是它太簡單了，小學生都可以很快弄懂這些數的來源，那個時代的數學家們總是希望有個積分，微分什麼的，以顯示其高深莫測，高斯那時候正在研究曲面和曲線的幾何學，對于各種曲率玩得和吃飯喝水似的，這個時候人們還沒有意識到彎曲可以是幾何的内蘊性質，而一般考慮嵌入曲率，第一個認識到彎曲可以不需要嵌入的人是黎曼某天，對于沒有邊界的二維曲面，高斯搞了一個曲率做了一個積分，他發現，他能夠計算出歐拉數!很快他把這個公式推廣到帶邊界（二維面上有洞的情形）的二維曲面，同樣得到了相應的歐拉數高斯當時應該是沒有認識到這個公式的巨大作用，以至于他懶得去發表這樣的結果，他認為這種工作對他而言太簡單了，隻和弟子們稍微讨論了一下，然後，就轉去研究别的東西去了，可見這些宗師級的人物也有走眼的時候，幾年以後，博内得到了同樣的結果令人興奮的是，我們導出黎曼曲率的途徑，還能夠讓我們一瞥高斯-博内公式的風采，真正體驗一番研究内蘊幾何的味道高斯-博内公式是大範圍微分幾何學的一個經典的公式，它建立了空間的局部性質和整體性質之間的聯系，而我們從一條幾何的路徑出發，結合一些矩陣變換和數學分析的内容，逐步導出了測地線、協變導數、曲率張量，現在還可以得到經典的高斯-博内公式，可見我們在這條路上已經走得足夠遠了，雖然過程不盡善盡美，然而，并沒有脫離這個系列的核心:幾何直觀在曲面上的形狀：角差變量=曲率k上的面積大小的積分。變化量則表示為面積分。這就是微分幾何中的高斯-博内公式的主要内容，即角差等于高斯曲率的面積分，諸如球面三角形的内角和等内容都與它有關，它是整體微分幾何的開山之作之一：（）數學心
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