鹦鹉小說

第五百二十七章 佐恩引理集合論（第1頁）

康托爾發現集合論後，提出集合論有互異性、确定性和無序性後，有的數學家恥笑康托爾集合無序性的原則。對康托爾說：“無序性會有什麼作用？”康托爾反駁：“我們把東西堆在一起，形成一個集合就行，不需要給他排序。”克羅内克笑道：“你研究集合論是研究有理數和無理數個數時開始的，對數字不講順序，你着集合算什麼數學？是個不知大小沒有高低的東西？那證明裡的歸納法如何用集合問題取解決？”康托爾這時才深深的感覺到，良序定理是“思維的基本原理”。他對數學家們說：“所有集合都可以被良序排序。”康托爾不僅僅要面對一般的數學歸納法，還要面對超限歸納法，數學歸納法時後繼序數，而超限歸納法不是後繼序數。策梅洛提出了良序定理，其内容表述為對任何集合s，存在s上的二元關系r，使得是良序集。良序定理是非常重要，因為它确保所有集合适用超限歸納法的強力技術。後來為了證明良序定律，策梅洛提出了選擇公理，表述為設c為一個由非空集合所組成的集合。那麼，我們可以從每一個在c中的集合中，都選擇一個元素和其所在的集合配成有序對來組成一個新的集合。要證明選擇公理，并非一件容易的事，其中一個原因是選擇公理不單是一條簡單的數學命題，而是牽涉較基層的數學──集合論。而集合論正就是數學的基礎理論，所以在證明時，工具也會較少。而這裡又出現了新情況，就是左恩引理的出現。佐恩引理在1922年首先被庫拉托夫斯基所發現，1935年佐恩亦獨立地發現此結論。表述是在任何一非空的偏序集中，若任何鍊（即全序的子集）都有上界，則此偏序集内必然存在（至少一枚）極大元。佐恩引理，良序定理和選擇公理彼此等價，在集合論的公理基礎上，上述三者中從任一出發均可推得另外兩個。：（）數學心

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